Question

设抛物线y²=4x被直线y=2x-4截得的弦长为AB，以AB为底边，以x轴上的点P为顶点作三角形，当此三角形的面积为9时，求P点坐标．

Answer 1

分析：设出A、B点的坐标，联立方程根据根与系数的关系求出弦长AB，再设P（x₀，0），先求点P（x₀，0）到AB：2x-y-4=0距离d，根据面积为9，代入可求P得坐标；

解答：解：：（1）

y2=4x y=2x-4

∴4x²-20x+16=0
由△＞0有 20²-4×4×16＞0
设A（x₁，y₁）B（x₂，y₂），
x₁+x₂=5则x₁•x₂=4，
|AB|=

(x1-x2)2+(y1-y2)2

 =

(x1+x2)2-4x1x2+(y1+y2)2-4y1y2

=

(1+22)[(x1+x2)2-4x1x2]

=3

5

，
设P（x₀，0）则点P（x₀，0）到AB：2x-y-4=0距离 d=

|2x0-4|

5

，
依题意

1

2

×|AB|×d=9，∴

1

2

×3

5

×d=

1

2

×3

5

×

|2x0-4|

5

=9，
解得x₀=5或-1，
∴P点坐标（5，0）或（-1，0）；

点评：本题主要考查了直线与抛物线相交求解弦长，关键是根据方程的根与系数的关系表示，这是圆锥曲线的考查的热点之一．