Question

设抛物线y²=4x的焦点弦被焦点分为长是m和n的两部分，则m与n的关系是

 

．

Answer 1

分析：假设直线斜率存在，则可设出直线方程与抛物线方程联立消去y可求得x₁+x₂，再根据抛物线的定义可求得m+n和mn，进而可求得

1

m

+

1

n

=

m+n

mn

=

2

p

．再看当斜率不存在时，也符合．综合可推断

1

m

+

1

n

=

2

p

，然后根据p=2，即可得出结论．

解答：解：抛物线y²=2Px①设AB：y=k（x-

p

2

），直线方程与抛物线方程联立消去y得
得k²x²-（k²p+2p）x+

k2p2

4

=0．
∴x₁+x₂=

k2p+2p

k2

．
又由抛物线定义可得
m+n=x₁+x₂+p=

2k2p+2p

k2

=

2p(k2+1)

k2

，
m•n=（x₁+

p

2

）（x₂+

p

2

）=

p(k2+1)

k2

，
∴

1

m

+

1

n

=

m+n

mn

=

2

p

．
②若k不存在，则AB方程为x=-

p

2

，显然符合本题．
综合①②有

1

m

+

1

n

=

2

p

∵p=2
∴

1

m

+

1

n

=1
故答案为

1

m

+

1

n

=1

点评：本题主要考查了抛物线的简单性质及抛物线与直线的关系．当遇到抛物线焦点弦问题时，常根据焦点设出直线方程与抛物线方程联立，把韦达定理和抛物线定义相结合解决问题．