Question

用白铁皮做一个平底、圆锥形盖的圆柱形粮囤，粮囤容积为（不含锥形盖内空间），盖子的母线与底面圆半径的夹角为，设粮囤的底面圆半径为R，需用白铁皮的面积记为（不计接头等）。

（1）将表示为R的函数；

（2）求的最小值及对应的粮囤的总高度。（含圆锥顶盖）

 

Answer 1

（1），（2），对应粮囤的总高度为.

【解析】

试题分析：（1）立体几何应用题，实际考查立体几何的侧面积. 根据圆锥及圆柱侧面积公式得：（>0），（2）对复杂函数，利用导数求函数最值.由，令，得，当时，，当时，所以当时，取得极小值也是最小值，且，此时圆柱的高为，圆锥盖的高为，所以粮囤的总高度为.

试题解析：（1）

（>0） 7分

（2），令，得 10分

当时，，当时，所以当时，取得极小值也是最小值，且， 13分

此时圆柱的高为，圆锥盖的高为，所以粮囤的总高度为 15分

答：（1）；（2），对应粮囤的总高度为。 16分

考点：圆锥及圆柱侧面积，利用导数求最值