Question

【题目】某企业生产一种产品，从流水线上随机抽取件产品，统计其质量指标值并绘制频率分布直方图（如图1）：规定产品的质量指标值在的为劣质品，在的为优等品，在的为特优品，销售时劣质品每件亏损元，优等品每件盈利元，特优品每件盈利元，以这件产品的质量指标值位于各区间的频率代替产品的质量指标值位于该区间的概率．

（1）求每件产品的平均销售利润；

（2）该企业主管部门为了解企业年营销费用（单位：万元）对年销售量（单位：万件）的影响，对该企业近年的年营销费用和年销售量，数据做了初步处理，得到的散点图（如图2）及一些统计量的值．

表中，，，．

根据散点图判断，可以作为年销售量（万件）关于年营销费用（万元）的回归方程．

①求关于的回归方程；

②用所求的回归方程估计该企业每年应投入多少营销费，才能使得该企业的年收益的预报值达到最大？（收益销售利润营销费用，取）

附：对于一组数据，，，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，．

Answer 1

【答案】（1）元．（2）①②万元

【解析】

（1）每件产品的销售利润为，由已知可得的取值，由频率分布直方图可得劣质品、优等品、特优品的概率，从而可得的概率分布列，依期望公式计算出期望即为平均销售利润；

（2）①对取自然对数，得，

令，，，则，这就是线性回归方程，由所给公式数据计算出系数，得线性回归方程，从而可求得；

②求出收益，可设换元后用导数求出最大值．

解：（1）设每件产品的销售利润为，则的可能取值为，，．由频率分布直方图可得产品为劣质品、优等品、特优品的概率分别为、、．

所以；；．所以的分布列为

所以（元）．

即每件产品的平均销售利润为元．

（2）①由，得，

令，，，则，

由表中数据可得，

则，

所以，即，

因为取，所以，故所求的回归方程为．

②设年收益为万元，则

令，则，，当时，，

当时，，所以当，即时，有最大值．

即该企业每年应该投入万元营销费，能使得该企业的年收益的预报值达到最大，最大收益为万元．