Question

【题目】如图，矩形，为的中点，将沿直线翻折成，连接，为的中点，则在翻折过程中，下列说法中所有正确的是（ ）

A.存在某个位置，使得B.翻折过程中，的长是定值

C.若，则；D.若，当三棱锥的体积最大时，三棱锥的外接球的表面积是.

Answer 1

【答案】BD

【解析】

对于A，取的中点为，连接，设.通过证明平面平面，得.假设，得到，，这是不可能的，故不正确；对于B，在中，由余弦定理得是定值，故是定值，故正确；对于C，若，可证平面，得到，此时，由于，故不成立，故不正确；对于D，只有当平面平面时，三棱锥的体积最大，取的中点为，证明，故就是三棱锥的外接球的球心，故D正确.

对于A，取的中点为，连接，设，如图所示

则平面平面，平面.

四边形是平行四边形，，同理可证平面.

又，且平面，平面平面.

平面，又平面，平面平面，

.

如果，则，由于，则，

由于三线共面且共点，这是不可能的，故不正确；

对于B，如图，由等角定理可得，又，

在中，由余弦定理得：

是定值，是定值，故正确；

对于C，如图所示

，即，设为中点，连接，则

若，由于，且平面，

平面，平面，

，则，

由于，故不成立，故不正确；

对于D，根据题意知，只有当平面平面时，

三棱锥的体积最大，取的中点为，为中点，

连接，如图

，，平面平面

平面平面，平面

平面，又平面，.

又，，，，

，，

.

的中点就是三棱锥的外接球的球心，球的半径为，

表面积是，故D正确；

故选：BD.