Question

【题目】如图，在四边形ABCD中，AB//CD，∠ABD=30°，AB＝2CD＝2AD＝2，DE⊥平面ABCD，EF//BD，且BD＝2EF．

（Ⅰ）求证：平面ADE⊥平面BDEF；

（Ⅱ）若二面角CBFD的大小为60°，求CF与平面ABCD所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）

【解析】分析：(1)根据面面垂直的判定定理即可证明平面ADE⊥平面BDEF；

(2)建立空间直角坐标系，利用空间向量法即可求CF与平面ABCD所成角的正弦值；也可以应用常规法，作出线面角，放在三角形当中来求解.

详解：（Ⅰ）在△ABD中，∠ABD＝30°，由AO2＝AB2+BD2－2AB·BDcos30°，

解得BD＝，所以AB2+BD2=AB2，根据勾股定理得∠ADB＝90°∴AD⊥BD.

又因为DE⊥平面ABCD，AD平面ABCD，∴AD⊥DE.

又因为BDDE＝D，所以AD⊥平面BDEF，又AD平面ABCD，

∴平面ADE⊥平面BDEF，

（Ⅱ）方法一：

如图，由已知可得，，则

，则三角形BCD为锐角为30°的等腰三角形.

则.

过点C做，交DB、AB于点G，H，则点G为点F在面ABCD上的投影.连接FG，则

，DE⊥平面ABCD，则平面.

过G做于点I，则BF平面，即角为

二面角CBFD的平面角，则60°.

则，，则.

在直角梯形BDEF中，G为BD中点，，，，

设 ，则，，则.

，则，即CF与平面ABCD所成角的正弦值为．

（Ⅱ）方法二：

可知DA、DB、DE两两垂直，以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz.

设DE＝h，则D(0，0，0)，B(0，，0)，C(－，－，h).

，.

设平面BCF的法向量为m＝(x，y，z)，

则所以取x=，所以m＝(，-1，－)，

取平面BDEF的法向量为n＝(1，0，0)，

由，解得，则，

又,则，设CF与平面ABCD所成角为，

则sin=.

故直线CF与平面ABCD所成角的正弦值为