Question

【题目】设两实数不相等且均不为.若函数在时，函数值的取值区间恰为，就称区间为的一个“倒域区间”.已知函数.

（1）求函数在内的“倒域区间”；

（2）若函数在定义域内所有“倒域区间”的图象作为函数的图象，是否存在实数，使得与恰好有2个公共点?若存在，求出的取值范围：若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1） （2）存在,

【解析】

（1）根据倒域区间的定义,结合函数的单调性,解方程即可求得的值,可得函数在内的“倒域区间”.

（2）结合倒域区间的定义,先求得函数的解析式.根据两个函数有两个交点,即可得关于的方程,分离参数得的表达式,根据打勾函数的图像及性质即可求得的取值范围.

（1）

由二次函数性质可知, 在时单调递减

设,则其值域为

所以,化简可得

因式分解可得

解得,

因为

所以

即倒域区间为

（2）两实数不相等且均不为.且满足时,函数值的取值区间恰为

则,所以与符号相同,即同为正数或同为负数

因为定义域为

所以存在两种可能:与

当时,由二次函数的图像可知

所以满足,即

所以.由（1）可知其倒域区间为

当时,由二次函数的图像可知

所以满足,即

所以,根据倒域区间的定义,同理可求得其倒域区间为

综上可知,

因为

当时,

令

则

画出与的图像

可知没有交点.

若两个函数恰有2个公共点,则两个函数图像在有2个交点.

即在上有两个不同交点.

化简可得,即为打钩函数.

画出函数图像如下图所示.

则当,即时取得最小值,最小值为

当时,,

当时,

因为

所以为有两个交点,则的取值范围为