设函数
，其中a为正实数．
(l)若x=0是函数
的极值点，讨论函数
的单调性；
(2)若在
上无最小值，且在上是单调增函数，求a的取值范
围；并由此判断曲线与曲线
在交点个数．
(1)增区间为，减区间为
；(2)
；0.
解析试题分析：(1)先求出
，根据已知“
是函数
的极值点”，得到
，解得
，将其代入
，求得
，结合函数
的定义域，利用导数求函数的单调区间；(2)先研究函数在区间
没有极小值的情况：
，当
时，在区间上先减后增，有最小值；当
时，在区间上是单调递增的，没有最小值.再研究函数在区间上是单调增函数：
在上恒成立，解得
.综合两种情况得到
的取值范围.根据
可知
，利用导数研究函数
的单调性，得到
在区间上的最小值是
，与的取值范围矛盾，所以两曲线在区间上没有交点.
试题解析：(1) 由
得
， 2分的定义域为：
， 3分
，函数的增区间为，减区间为. 5分
（2）
，
若
则在
上有最小值
，
当
时，在单调递增无最小值. 7分
∵在上是单调增函数∴在上恒成立，
∴. 9分
综上所述的取值范围为. 10分
此时，
即
,
则 h(x)在
单减，
单增， 13分
极小值为. 故两曲线没有公共点. &
优等生题库系列答案科目：高中数学 来源： 题型：解答题
已知函数
，
（
）
（Ⅰ）若函数
存在极值点，求实数
的取值范围；
（Ⅱ）求函数
的单调区间；
（Ⅲ）当
且
时，令
，
(
)，
(
)为曲线
上的两动点，O为坐标原点，能否使得
是以O为直角顶点的直角三角形，且斜边中点在y轴上？请说明理由．
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
已知函数f(x)的导函数为f ′(x)，且对任意x＞0，都有f ′(x)＞
．
（Ⅰ）判断函数F(x)＝在(0，＋∞)上的单调性；
（Ⅱ）设x1，x2∈(0，＋∞)，证明：f(x1)＋f(x2)＜f(x1＋x2)；
（Ⅲ）请将（Ⅱ）中的结论推广到一般形式，并证明你所推广的结论．
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。
的单调区间；
，证明当
时，函数
图象的上方.
（
为自然对数的底数）.
的单调区间；
时，若
对任意的
恒成立，求实数
的值；
.
在
处的切线与直线
平行，求
上的最小值.
试讨论
的单调性.
，
的解集是
，求
的值；
，解关于
的不等式
.
（
均为正常数），设函数
在
处有极值.
，不等式
总成立，求实数
的取值范围；
上单调递增，求实数
的取值范围.