Question

【题目】已知函数.

（Ⅰ）当时，求函数的单调区间；

（Ⅱ）若对于任意都有成立，求实数的取值范围；

（Ⅲ）若过点可作函数图象的三条不同切线，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）（Ⅲ）

【解析】试题分析：（1）先求导数，再求导函数零点，列表分析导函数符号变化规律，进而确定单调区间（2）先化简不等式，利用变量分离得最小值，再利用基本不等式求最小值，即得实数的取值范围；（3）先设切点，根据导数几何意义建立方程，转化为有三个不同的解，利用导数研究函数图像，根据极值点位置确定实数的取值范围.

试题解析：（Ⅰ）当时， ，得．

因为=，

所以当时， ，函数单调递增；

当或时， ，函数单调递减．

所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为和

（Ⅱ）由，得．

因为对于任意都有成立，

即对于任意都有成立，

即对于任意都有成立，

设, ,

则

等号成立当且仅当即.

所以实数的取值范围为．

（Ⅲ）设点是函数图象上的切点，

则过点的切线的斜率为，

所以过点的切线方程为．

因为点在切线上，

即．

若过点可作函数图象的三条不同切线，

则方程有三个不同的实数解．

令，则函数与轴有三个不同的交点．

令，解得或．

因为， ，

所以必须，即．

所以实数的取值范围为．