Question

已知函数f(x)=loga(1-

4

x+2

)，（a＞0，a≠1）
（1）写出f（x）的定义域、值域、单调区间（不必证明）；
（2）讨论f（x）的奇偶性；
（3）是否存在实数a使得f（x）的定义域为[m，n]，值域为[1+log_an，1+log_am]？若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）由函数的解析式可得 1-

4

x+2

＞0，即

x-2

x+2

＞0，由此求得故定义域．根据1-

4

x+2

≠1，可得 y≠0，由此得函数的值域．根据函数1-

4

x+2

的单调区间求得函数f(x)=loga(1-

4

x+2

)的增区间．
（2）定义域关于原点对称，且f（-x）+f（x）=0，可得f（x）是奇函数．
（3）a＞1时，根据函数f（x）在[m，n]上是增函数，1+log_an＞1+log_am，可得函数的值域不可能为[1+log_an，1+log_am]，此时，a不存在．
0＜a＜1时，f（x）单调递减，则由loga(1-

4

x+2

)=1+log_ax，可得ax²+（2a-1）x+2=0．由题意可得，ax²+（2a-1）x+2=0有两个大于2的不等实根．根据二次函数的性质求得a的范围．

解答：解：（1）由函数的解析式可得 1-

4

x+2

＞0，即

4

x+2

＜1，即

x-2

x+2

＞0，
即（x-2）（x+2）＞0，
∴x＞2，或 x＜-2，
故定义域为{x|x＜-2，或x＞2}．
由函数的解析式可得 1-

4

x+2

≠1，
∴y≠0，故值域为{y|y≠0}．
在（-∞，-2）上，1-

4

x+2

是增函数，在（2，+∞）上，函数1-

4

x+2

是增函数，
故函数f(x)=loga(1-

4

x+2

)的增区间为（-∞，-2），（2，+∞）．
（2）定义域关于原点对称，且f(x)+f(-x)=loga

x-2

x+2

+loga

-x-2

-x+2

=0，
∴f（x）是奇函数．
（3）a＞1时，由复合函数的单调性可得函数f(x)=loga(1-

4

x+2

)在[m，n]上是增函数，
∴1+log_an＞1+log_am，
故函数的值域不可能为[1+log_an，1+log_am]，此时，a不存在．
0＜a＜1时，f（x）单调递减，
则由loga(1-

4

x+2

)=1+log_ax，
可得

x-2

x+2

=ax，
即ax²+（2a-1）x+2=0．
由题意可得，ax²+（2a-1）x+2=0有两个大于2的不等实根．
设g（x）=ax²+（2a-1）x+2，
则有

△=(2a-1)2-8a＞0 - 2a-1 2a ＞2 g(2)＞0

，
解得0＜a＜

3-2 2

2

．
综上，存在实数a，满足0＜a＜

3-2 2

2

，符合题中条件．

点评：本题主要考查函数的定义域、值域、单调性、奇偶性，体现了转化的数学思想，属于中档题．