Question

12．已知二次函数f（x）=2x²+1，过点（1，0）做直线l₁，l₂与f（x）的图象相切于A，B两点，则直线AB的方程为（　　）

• A． $\sqrt{6}$x-y+2=0
• B． x-$\sqrt{6}$y+1=0
• C． 4x-y+2=0
• D． x-4y+1=0

Answer 1

分析 设切点A（x₁，2x₁²+1），B（x₂，2x₂²+1），求出二次函数的导数，可得切线的斜率，由两点的斜率公式，化简可得x₁，x₂为方程2x²-4x-1=0的两根，运用韦达定理，可得直线的点斜式方程，化简整理，即可得到答案．

解答 解：设切点A（x₁，2x₁²+1），B（x₂，2x₂²+1），
由f（x）=2x²+1的导数为f′（x）=4x，
可得切线的斜率为4x₁=$\frac{{{2x}_{1}}^{2}+1}{{x}_{1}-1}$，4x₂=$\frac{{{2x}_{2}}^{2}+1}{{x}_{2}-1}$，
化简可得x₁，x₂为方程2x²-4x-1=0的两根，
可得x₁+x₂=2，x₁x₂=-$\frac{1}{2}$，
k_AB=$\frac{{{2x}_{2}}^{2}-{{2x}_{1}}^{2}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$=2（x₁+x₂）=4，
即有直线AB的方程为y-2x₁²-1=4（x-x₁），
化简可得4x-y+2=0，
故选：C．

点评 本题考查导数的运用：求切线的斜率和方程，考查直线恒过定点的求法，注意运用直线的点斜式方程，以及二次方程的韦达定理，考查化简整理的运算能力，属于中档题．