【题目】已知函数,
,其中
,
,
为自然对数的底数.
(Ⅰ)若和
在区间
内具有相同的单调性,求实数
的取值范围;
(Ⅱ)若,且函数
的最小值为
,求
的最小值.
【答案】(1)的最小值为
.(2)
.
【解析】试题分析:(1)由在
上恒成立
在
上单调递减
当
时,
,即
在
上单调递增,不合题意;
当时,利用导数工具得
的单调减区间为
,单调增区间为
和
在区间
上具有相同的单调性
的取值范围是
;(2)由
,设
利用导数工具得
,再根据单调性
设在
上递减
的最小值为
.
试题解析: (1),
在
上恒成立,即
在
上单调递减.
当时,
,即
在
上单调递增,不合题意;
当时,由
,得
,由
,得
.
∴的单调减区间为
,单调增区间为
.
和
在区间
上具有相同的单调性,
∴,解得
,
综上, 的取值范围是
.
(2),
由得到
,设
,
当时,
;当
时,
.
从而在
上递减,在
上递增.∴
.
当时,
,即
,
在上,
递减;
在上,
递增.∴
,
设,
在
上递减.∴
;
∴的最小值为
.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某研究型学习小组调查研究学生使用智能手机对学习的影响.部分统计数据如下表:
使用智能手机 | 不使用智能手机 | 总计 | |
学习成绩优秀 | 4 | 8 | 12 |
学习成绩不优秀 | 16 | 2 | 18 |
总计 | 20 | 10 | 30 |
附表:
P(K2≥k0) | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
k0 | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
经计算的观测值为10,则下列选项正确的是( )
A. 有99.5%的把握认为使用智能手机对学习有影响
B. 有99.5%的把握认为使用智能手机对学习无影响
C. 在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为使用智能手机对学习有影响
D. 在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为使用智能手机对学习无影响
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】在平面直角坐标系中,动点到定点
的距离和它到直线
的距离
之比是常数,记动点
的轨迹为
.
(1)求轨迹的方程;
(2)过点且不与
轴重合的直线
,与轨迹
交于
,
两点,线段
的垂直平分线与
轴交于点
,与轨迹
是否存在点
,使得四边形
为菱形?若存在,请求出直线
的方程;若不存在,请说明理由.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】设是实数,
,
(1)若函数为奇函数,求
的值;
(2)试用定义证明:对于任意,
在
上为单调递增函数;
(3)若函数为奇函数,且不等式
对任意
恒成立,求实数
的取值范围。
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知抛物线的焦点为
,过抛物线上一点
作抛物线
的切线
交
轴于点
,交
轴于点
,当
时,
.
(1)判断的形状,并求抛物线
的方程;
(2)若两点在抛物线
上,且满足
,其中点
,若抛物线
上存在异于
的点
,使得经过
三点的圆和抛物线在点
处有相同的切线,求点
的坐标.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知a,b为常数,且a≠0,f(x)=ax2+bx,f(2)=0,方程f(x)=x有两个相等实数根.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)当x∈[1,2]时,求f(x)的值域;
(3)若F(x)=f(x)-f(-x),试判断F(x)的奇偶性,并证明你的结论.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】【2017届河北省正定中学高三上学期第三次月考(期中)数学(理)】在平面直角坐标系中,当不是原点时,定义
的“伴随点”为
;当
是原点时,定义
的“伴随点”为它自身,平面曲线
上所有点的“伴随点”所构成的曲线
定义为曲线
的“伴随曲线”,现有下列命题:
①若点的“伴随点”是点
,则点
的“伴随点”是点
;
②若曲线关于
轴对称,则其“伴随曲线”
关于
轴对称;
③单位圆的“伴随曲线”是它自身;
④一条直线的“伴随曲线”是一条直线.
其中真命题的个数为( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
在直角坐标系中,曲线
是过点
,倾斜角为
的直线,以直角坐标系
的原点为极点,
轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线
的极坐标方程是
.
(1)求曲线的普通方程和曲线
的一个参数方程;
(2)曲线与曲线
相交于
两点,求
的值.
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