Question

【题目】已知动点P（x，y）满足方程xy=1（x＞0）．
（Ⅰ）求动点P到直线l：x+2y﹣ =0距离的最小值；
（Ⅱ）设定点A（a，a），若点P，A之间的最短距离为2 ，求满足条件的实数a的取值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由点到直线的距离公式可得： ，当且仅当 时距离取得最小值 ．
（Ⅱ）设点 （x＞0），则 ，
设 （t≥2），则 ， ，设f（t）=（t﹣a）2+a2﹣2（t≥2）
对称轴为t=a
分两种情况：
（i）a≤2时，f（t）在区间[2，+∞）上是单调增函数，故t=2时，f（t）取最小值
∴ ，∴a2﹣2a﹣3=0，∴a=﹣1（a=3舍）．
（ii）a＞2时，∵f（t）在区间[2，a]上是单调减，在区间[a，+∞）上是单调增，
∴t=a时，f（t）取最小值，
∴ ，∴ （ （舍），
综上所述，a=﹣1或 ．
【解析】（Ⅰ）由点到直线的距离公式与基本不等式的性质即可得出．（Ⅱ）设点 （x＞0），则 ，设 （t≥2），则 ，设f（t）=（t﹣a）2+a2﹣2（t≥2），对a与2的大小关系分类讨论即可得出．
【考点精析】关于本题考查的基本不等式和点到直线的距离公式，需要了解基本不等式：,（当且仅当时取到等号）；变形公式：；点到直线的距离为：才能得出正确答案．