Question

函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜

π

2

）的部分图象如图示，将y=f（x）的图象向右平移

π

4

个单位后得到函数y=g（x）的 图象．
（I ）求函数y=g（x）的解析式；
（II）已知△ABC中三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足g(

A

2

+

π

12

)+g(

B

2

+

π

12

)=2

6

sinAsinaB，且C=

π

3

，c=3，求△ABC的面积．

Answer 1

考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换

专题：综合题,三角函数的图像与性质,解三角形

分析：（I ）依题意，知T=π，可得ω=2，又f（

π

12

）=1，可求得φ，于是知y=f（x）的解析式，利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换即可求得函数y=g（x）的解析式；
（II）易求g（

A

2

+

π

12

）=sinA，g（

B

2

+

π

12

）=sinB，于是有sinA+sinB=2

6

sinAsinB，利用正弦定理可得，a+b=

2

ab；由余弦定理得c²=a²+b²-2abcosC，二者联立可求得ab，从而可得△ABC的面积．

解答： 解：（Ⅰ）由图知：T=

2π

ω

=4[

π

12

-（-

π

6

）]=π，解得ω=2．
又f（

π

12

）=sin（2×

π

12

+φ）=1，
∴

π

6

+φ=2kπ+

π

2

（k∈Z），即φ=2kπ+

π

3

（k∈Z），．
由|φ|＜

π

2

，得φ=

π

3

．
∴f（x）=sin（2x+

π

3

）．
∴g（x）=f（x-

π

4

）=sin[2（x-

π

4

）+

π

3

]=sin（2x-

π

6

）；
（Ⅱ）∵g（x）=sin（2x-

π

6

），
∴g（

A

2

+

π

12

）=sin[2（

A

2

+

π

12

）-

π

6

]=sinA，
同理可得，g（

B

2

+

π

12

）=sinB，
∴sinA+sinB=2

6

sinAsinB．
∵

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

=

3

sin π 3

=2R（R为△ABC的外接圆半径），
∴2R=2

3

，
∴sinA=

a

2R

，sinB=

b

2R

．
∴

a

2R

+

b

2R

=2

6

•

a

2R

•

b

2R

，即a+b=

2

ab． ①
由余弦定理，c²=a²+b²-2abcosC，
即 9=a²+b²-ab=（a+b）²-3ab．  ②
联立①②可得：2（ab）²-3ab-9=0，解得：ab=3或ab=-

3

2

（舍去），
故△ABC的面积S_△ABC=

1

2

absinC=

3 3

4

．

点评：本题考查由函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换确定函数解析式，考查正弦定理与余弦定理的综合应用，考查方程思想与运算求解能力，属于难题．