Question

在（a-x³）（1+x）¹⁰的展开式中，x⁵的系数为207，则x⁶的系数为

 

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Answer 1

考点：二项式系数的性质

专题：综合题,二项式定理

分析：先将多项式展开，分析可得（1-x³）（1+x）¹⁰展开式中的x⁵的系数是a（1+x）¹⁰的展开式中的x⁵的系数减去（1+x）¹⁰的x²的系数，利用二项式定理可得（1+x）¹⁰展开式的含x⁵的系数与含x²的系数，相减可求a，再求出x⁶的系数．

解答： 解：（a-x³）（1+x）¹⁰=a（1+x）¹⁰-x³（1+x）¹⁰
则（1-x³）（1+x）¹⁰展开式中的x⁵的系数是a（1+x）¹⁰的展开式中的x⁵的系数减去（1+x）¹⁰的x²的系数，
由二项式定理，（1+x）¹⁰的展开式的通项为T_r+1=C₁₀^rx^r
令r=5，得a（1+x）¹⁰展开式的含x⁵的系数为aC₁₀⁵，
令r=2，得其展开式的含x²的系数为C₁₀²
则x⁵的系数是aC₁₀⁵-C₁₀²=252a-45=207，
∴a=1，
∴x⁶的系数为（1+x）¹⁰的展开式中的x⁶的系数减去（1+x）¹⁰的x³的系数，即C₁₀⁶-C₁₀³=90．
故答案为：90．

点评：本题考查利用二项展开式定理解决二项展开式的特定项问题，解题的关键在于多项式的展开、整理变形．