Question

4．已知函数f（x）=x²+（3-a）x+2+2a+b，a，b∈R．
（1）若关于x的不等式f（x）＞0的解集为{x|x＜-4或x＞2}，求实数a，b的值；
（2）若关于x的不等式f（x）≤b在x∈[1，3]上有解，求实数a的取值范围；
（3）若关于x的不等式f（x）＜12+b的解集中恰有3个整数，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据二次函数与对应不等式和方程的关系，利用根与系数的关系，即可求出a、b的值；
（2）由f（x）≤b在x∈[1，3]上有解，知x²+（3-a）x+2+2a≤0在x∈[1，3]上有解，令g（x）=x²+（3-a）x+2+2a，则在x∈[1，3]上，g（x）_min≤0，讨论a的取值，求出对应实数a的取值范围；
（3）由f（x）＜12+b得x²+（3-a）x+2a-10＜0，令h（x）=x²+（3-a）x+2a-10，求出h（x）＜0解集中恰有3个整数时a的取值范围即可．

解答 解：（1）因为函数f（x）=x²+（3-a）x+2+2a+b，a，b∈R，
又f（x）＞0的解集为{x|x＜-4或x＞2}，
所以-4，2方程x²+（3-a）x+2+2a+b=0的两根，
由$\left\{\begin{array}{l}-4+2=-（3-a）\\-4×2=2+2a+b\end{array}\right.$，解得a=1，b=-12；…（3分）
（2）因为函数f（x）=x²+（3-a）x+2+2a+b，a，b∈R，
由f（x）≤b在x∈[1，3]上有解，知x²+（3-a）x+2+2a≤0在x∈[1，3]上有解，
令g（x）=x²+（3-a）x+2+2a，则在x∈[1，3]上，g（x）_min≤0；
①$\left\{\begin{array}{l}-\frac{3-a}{2}≤1\\ g{（x）_{min}}=g（1）≤0\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}a≤5\\ a≤-6\end{array}\right.$得a≤-6；…（5分）
②$\left\{\begin{array}{l}1＜-\frac{3-a}{2}＜3\\ g{（x）_{min}}=g（-\frac{3-a}{2}）≤0\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}5＜a＜9\\{a^2}-14a+1≥0\end{array}\right.$；
有$\left\{\begin{array}{l}5＜a＜9\\ a≤7-4\sqrt{3}或a≥7+4\sqrt{3}\end{array}\right.$，解得a∈∅；…（7分）
③$\left\{\begin{array}{l}-\frac{3-a}{2}≥3\\ g{（x）_{min}}=g（3）≤0\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}a≥9\\ a≥20\end{array}\right.$，解得a≥20；…（9分）
综上，由①②③知，实数a的取值范围是a≤-6或a≥20．…（10分）
【注：由x²+（3-a）x+2+2a≤0得（x-2）a≥x²+3x+2，然后分离出a，进行求解，则参照给分】
（3）由f（x）＜12+b得x²+（3-a）x+2a-10＜0，令h（x）=x²+（3-a）x+2a-10，
则h（x）=（x-2）[x-（a-5）]，知h（2）=0，
故h（x）＜0解集中的3个整数只能是3，4，5或-1，0，1；…（11分）
①若解集中的3个整数是3，4，5，则5＜a-5≤6，得10＜a≤11；…（13分）
②解集中的3个整数是-1，0，1；则-2≤a-5＜-1，得3≤a＜4；…（15分）
综上，由①②知，实数a的取值范围为3≤a＜4或10＜a≤11．…（16分）

点评 本题考查了含有字母系数的函数与不等式、方程的应用问题，也考查了转化与分类讨论思想的应用问题，是综合性题目．