Question

设函数f（x）=|x|x+bx+c，给出下列4个命题：
①b=0，c＞0时，f（x）=0只有一个实数根；  ②c=0时，y=f（x）是奇函数；
③y=f（x）的图象关于点（0，c）对称；     ④方程f（x）=0至多有2个实数根
其中真命题的个数是（　　）

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

分析：本题考查的知识点是，判断命题真假，同时考查了分段函数的图象，根据函数f（x）=|x|x+bx+c的图象关于（0，c）对称，结合b、c的取值情况，对四个结论逐一判断，可以得到正确结论．

解答：解：b=0时，原函数化为f(x)=

x2+c   x＞0 -x2+c  x＜0

因为c＞0，所以当x＞0时，函数顶点在x轴上方且开口向上，图象与x轴无交点，当x＜0时，图象顶点在x轴上方且开口向下，图象与x轴只有一个交点，故方程f（x）=0只有一个实数根，命题①正确．
 当c=0时，数f（x）=|x|x+bx，定义域关于原点对称，f（-x）=|-x|（-x）+b（-x）=-（|x|x+bx）=-f（x），所以f（x）是奇函数，故②命题正确．
因为f（x）=|x|x+bx为奇函数，所以图象关于（0，0）对称，而f（x）=|x|x+bx+c是把f（x）=|x|x+bx向上或向下平移了|c|各单位，所以y=f（x）的图象关于点（0，c）对称，故命题③正确．
对于命题④，只需举一个反例，如b=-3，c=1方程f（x）=0就可化为x²-3x+1=0（x＞0）或-x²-3x+1=0（x＜0），求出方程有3个解，所以命题④不正确．
故选C

点评：把函数f（x）=|x|x+bx+c进行分段是处理该问题的关键，同时注意数形结合的解题思想．