Question

已知矩阵A的逆矩阵A^-1=（

2 1 1 2

）．
（1）求矩阵A；
（2）求矩阵A^-1的特征值以及属于每个特征值的一个特征向量．

Answer 1

考点：特征向量的定义

专题：计算题,矩阵和变换

分析：（1）利用AA^-1=E，建立方程组，即可求矩阵A；
（2）先根据特征值的定义列出特征多项式，令f（λ）=0解方程可得特征值，再由特征值列出方程组即可解得相应的特征向量．

解答： 解：（1）设A=

a b c d

，则由AA^-1=E得

a b c d

2 1 1 2

=

1 0 0 1

，
解得a=

2

3

，b=-

1

3

，c=-

1

3

，d=

2

3

，所以A=

2 3 - 1 3 - 1 3 2 3

；
（2）矩阵A^-1的特征多项式为f（λ）=

.

λ-2 -1 -1 λ-2

.

=（λ-2）²-1，
令f（λ）=（λ-2）²-1=0，可求得特征值为λ₁=1，λ₂=3，
设λ₁=1对应的一个特征向量为α=

x y

，
则由λ₁α=Mα，得x+y=0
得x=-y，可令x=1，则y=-1，
所以矩阵M的一个特征值λ₁=1对应的一个特征向量为

1 -1

，
同理可得矩阵M的一个特征值λ₂=3对应的一个特征向量为

1 1

．

点评：本题考查逆变换与逆矩阵，考查矩阵特征值与特征向量的计算等基础知识，属于基础题．