Question

已知函数f（x）=e^x+e^-x，其中e是自然对数的底数．
（1）证明：f（x）是R上的偶函数；
（2）若关于x的不等式mf（x）≤e^-x+m-1在（0，+∞）上恒成立，求实数m的取值范围；
（3）已知正数a满足：存在x₀∈[1，+∞），使得f（x₀）＜a（-x₀³+3x₀）成立，试比较e^a-1与a^e-1的大小，并证明你的结论．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值

专题：导数的综合应用

分析：（1）根据函数奇偶性的定义即可证明f（x）是R上的偶函数；
（2）利用参数分离法，将不等式mf（x）≤e^-x+m-1在（0，+∞）上恒成立，进行转化求最值问题即可求实数m的取值范围；
（3）构u造函数，利用函数的单调性，最值与单调性之间的关系，分别进行讨论即可得到结论．

解答： 解：（1）∵f（x）=e^x+e^-x，
∴f（-x）=e^-x+e^x=f（x），即函数：f（x）是R上的偶函数；
（2）若关于x的不等式mf（x）≤e^-x+m-1在（0，+∞）上恒成立，
即m（e^x+e^-x-1）≤e^-x-1，
∵x＞0，
∴e^x+e^-x-1＞0，
即m≤

e-x-1

ex+e-x-1

在（0，+∞）上恒成立，
设t=e^x，（t＞1），则m≤

1-t

t2-t+1

在（1，+∞）上恒成立，
∵

1-t

t2-t+1

=-

t-1

(t-1)2+(t-1)+1

=-

1

t-1+ 1 t-1 +1

≥-

1

3

，当且仅当t=2时等号成立，
∴m≤-

1

3

．
（3）令g（x）=e^x+e^-x-a（-x³+3x），
则g′（x）=e^x-e^-x+3a（x²-1），
当x＞1，g′（x）＞0，即函数g（x）在[1，+∞）上单调递增，
故此时g（x）的最小值g（1）=e+

1

e

-2a，
由于存在x₀∈[1，+∞），使得f（x₀）＜a（-x₀³+3x₀）成立，
故e+

1

e

-2a＜0，
即a＞

1

2

（e+

1

e

），
令h（x）=x-（e-1）lnx-1，
则h′（x）=1-

e-1

x

，
由h′（x）=1-

e-1

x

=0，解得x=e-1，
当0＜x＜e-1时，h′（x）＜0，此时函数单调递减，
当x＞e-1时，h′（x）＞0，此时函数单调递增，
∴h（x）在（0，+∞）上的最小值为h（e-1），
注意到h（1）=h（e）=0，
∴当x∈（1，e-1）⊆（0，e-1）时，h（e-1）≤h（x）＜h（1）=0，
当x∈（e-1，e）⊆（e-1，+∞）时，h（x）＜h（e）=0，
∴h（x）＜0，对任意的x∈（1，e）成立．
①a∈（

1

2

（e+

1

e

），e）⊆（1，e）时，h（a）＜0，即a-1＜（e-1）lna，从而a^e-1＞e^a-1，
②当a=e时，a^e-1=e^a-1，
③当a∈（e，+∞）⊆（e-1，+∞）时，当a＞e-1时，h（a）＞h（e）=0，即a-1＞（e-1）lna，从而a^e-1＜e^a-1．

点评：本题主要考查函数奇偶性的判定，函数单调性和最值的应用，利用导数是解决本题的关键，综合性较强，运算量较大．