Question

【题目】已知函数，.

（1）是否存在及过原点的直线，使得直线与曲线，均相切？若存在，求的值及直线的方程；若不存在，请说明理由；

（2）若函数在区间上是单调函数，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）存在及：，使得直线与曲线，均相切；（2）的取值范围是.

【解析】

试题分析：对问题（1），根据导数的几何意义以及过原点的直线是曲线，的公切线，从而可求出直线的方程以及的值；对于问题（2），通过对函数进行求导并结合对实数的分类讨论即可求出的取值范围.

试题解析：（1）∵，设曲线在点处切线过原点，则切线方程为，

∵点在切线上，∴，∴，∴切线方程为，设直线与曲线切于点，∵，∴，.

又∵，∴，∴，解得，

∴.故存在及：，使得直线与曲线，均相切.

（2），，

令，则，易知在上单调递减，从而.

①当时，即时，，在区间上单调递增，∵，∴在上恒成立，即在上恒成立.

∴在区间上单调递减，∴满足题意.

②当时，即时，，当且时，，故函数存在唯一零点，且在上单调递增，在上单调递减，又∵，∴在上单调递增.

注意到，∴在上单调递减，这与在区间上是单调函数矛盾，∴不合题意.

综合①②得，的取值范围是.