Question

【题目】某中学调查防疫期间学生居家每天锻炼时间情况，从高一、高二年级学生中分别随机抽取100人，由调查结果得到如下的频率分布直方图：

（Ⅰ）写出频率分布直方图（高一）中的值；记高一、高二学生100人锻炼时间的样本的方差分别为，，试比较，的大小（只要求写出结论）；

（Ⅱ）估计在高一、高二学生中各随机抽取1人，恰有一人的锻炼时间大于20分钟的概率；

（Ⅲ）由频率分布直方图可以认为，高二学生锻炼时间服从正态分布．其中近似为样本平均数，近似为样本方差，且每名学生锻炼时间相互独立，设表示从高二学生中随机抽取10人，其锻炼时间位于的人数，求的数学期望．

注：①同一组数据用该区间的中点值作代表,计算得

②若，则，

Answer 1

【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）0.42（Ⅲ）6.826

【解析】

(I)根据图中的数据即可判断方差的大小，利用频率总和为1即可求出的值；

(II)先设设事件：在高一学生中随机抽取1人，其锻炼时间不大于20分钟，事件：在高二学生中随机抽取1人，其锻炼时间不大于20分钟，根据图形数据可得到它们的概率，而恰有一人的锻炼时间大于20分钟分两种情况：一种是这个人在高一；另一种是这个人在高二；再不出它们的概率和即可；

(III)利用所给的数据分别求出样本平均数和样本方差，代入公式即可求出概率和数学期望.

解：（Ⅰ），；

（Ⅱ）设事件：在高一学生中随机抽取1人，其锻炼时间不大于20分钟，

事件：在高二学生中随机抽取1人，其锻炼时间不大于20分钟，

事件：在高一、高二学生中随机抽取1人，恰有一个学生锻炼时间大于20分钟，且另一个不大于20分钟，

则，

，

．

（Ⅲ），由条件得，

从而，

从高二中随机抽取10人，其锻炼时间值位于的概率是0．6826，

根据题意得，．