Question

【题目】以直角坐标系的原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，直线的参数方程为（为参数）.

（1）求曲线的参数方程与直线的普通方程；

（2）设点过为曲线上的动点，点和点为直线上的点，且满足为等边三角形，求边长的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）：（为参数，），：；（2）

【解析】

（1）利用公式即可容易化简曲线的方程为直角坐标方程，再写出其参数方程即可；利用消参即可容易求得直线的普通方程；

（2）设出的坐标的参数形式，将问题转化为求点到直线距离的范围问题，利用三角函数的值域求解即可容易求得结果.

（1）曲线的极坐标方程为，

故可得，则，

整理得，也即，

由，则可得，

故其参数方程为（为参数，）；

又直线的参数方程为，

故可得其普通方程为.

（2）不妨设点的坐标为，

则点到直线的距离

，，

容易知在区间的值域为，

故可得.

则三角形的边长为，故其范围为.