Question

【题目】如图，四边形为菱形，且，，，点在面上的投影恰在上，点为中点.

（1）求证：为线段的中点；

（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】

（1）过作于，连接，证明点为中点.又利用面，证得，结合条件，即可证明面，从而得到，证明是中位线，即可证明为线段的中点；

（2）建立空间直角坐标系，写出各点的坐标，分别求出平面的一个法向量以及平面的一个法向量，再求出两个法向量的夹角的余弦，通过观察得二面角与两法向量夹角相等，则可得结论..

（1）证明：过作于，连接，

由菱形，，及，

可知，为中点，

面，，

又，面，

面，，

又，，

由为中点，可知，为线段的中点；

（2）以所在直线为轴，以所在直线为轴，

过平行的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，

，

设面的一个法向量，

，，

，取

设面的一个法向量，

，，

，取，

∴，

二面角的余弦值为.