Question

15．设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₁=2，S₃=12．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设数列$\left\{{\frac{1}{S_n}}\right\}$的前n项和为T_n，求T₂₀₁₅的值．

Answer 1

分析 （1）通过$\left\{\begin{array}{l}{a_1}=2\\{S_3}=3{a_1}+3d=12\end{array}\right.$可知即得结论；
（2）通过裂项可知$\frac{1}{S_n}=\frac{1}{n（n+1）}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，并项相加即得结论．

解答 解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，
∵$\left\{\begin{array}{l}{a_1}=2\\{S_3}=3{a_1}+3d=12\end{array}\right.$，
∴d=2，
∴数列{a_n}是以首项和公差均为2的等差数列，
∴其通项公式a_n=2+（n-1）•2=2n；
（2）∵a_n=2n，
∴${S_n}=\frac{n（2+2n）}{2}=n（n+1）$，
∴$\frac{1}{S_n}=\frac{1}{n（n+1）}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，
∴T₂₀₁₅=T₁+T₂+T₃+…+T₂₀₁₅
=$（{1-\frac{1}{2}}）+（{\frac{1}{2}-\frac{1}{3}}）+（{\frac{1}{3}-\frac{1}{4}}）+…+（{\frac{1}{2015}-\frac{1}{2016}}）$
=$1-\frac{1}{2016}=\frac{2015}{2016}$．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．