Question

如图，四棱锥P-ABCD中，PB⊥底面ABCD，CD⊥PD．底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，AB=AD=PB=3．点E在棱PA上，且PE=2EA．
（1）求证：PC∥平面EBD；
（2）求二面角A-BE-D的正弦值的大小．

Answer 1

分析：（1）连接AC，BD，交点为G．由△CBG∽△ADG，且CB=2AD．知CG=2AG，在三角形PCA中，PE=2AE，CG=2AG．故EG‖PC．由此能够证明PC‖平面EBD．
（2）以B为原点，BA所在直线为x轴，CB所在直线为y轴，BP所在直线为z轴，建立空间直角坐标系．则

DA

=(0，3，0)，

BD

=(3，-3，0)，

BE

=(2，1，0)，由题得向量

DA

=（0，3，0）是平面ABE的一个法向量．设向量

n

=（x，y，z）是平面BDE的一个法向量，由

n

•

BD

=0，

n

•

BE

=0，知

3x-3y=0 2x+z=0

，故

n

=（1，1，-2），由向量法能够求出二面角A-BE-D的正弦值．

解答：解：（1）连接AC，BD，交点为G．
∵AD∥BC，
∴△CBG∽△ADG，且CB=2AD．
∴CG=2AG，
在三角形PCA中，PE=2AE，CG=2AG．
∴EG‖PC．
∵EG在平面EBD内，
∴PC‖平面EBD．
（2）以B为原点，BA所在直线为x轴，CB所在直线为y轴，BP所在直线为z轴，建立空间直角坐标系．
∵PB⊥底面ABCD，CD⊥PD．底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，AB=AD=PB=3，
∴A（3，0，0），D（3，-3，0），B（0，0，0），E（2，1，0），
∴

DA

=(0，3，0)，

BD

=(3，-3，0)，

BE

=(2，1，0)，
由题得向量

DA

=（0，3，0）是平面ABE的一个法向量．
设向量

n

=（x，y，z）是平面BDE的一个法向量，
∵

n

•

BD

=0，

n

•

BE

=0，
∴

3x-3y=0 2x+z=0

，令x=1，得

n

=（1，1，-2），
设二面角A-BE-D的平面角是θ，
则cosθ=|cos＜

DA

，

n

＞|
=|

3

3× 6

|=

6

6

．
∴二面角A-BE-D的正弦值sinθ=

1-( 6 6 )2

=

30

6

．

点评：本题考查直线与平面平行的证明和求二面角的正弦值，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．综合性强，难度大，易出错，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答，注意向量法的灵活运用．