Question

8．已知a，b∈R⁺，且a²+$\frac{{b}^{2}}{4}$=1，求代数式ab的最大值．

Answer 1

分析 由2xy≤x²+y²和题意可得ab=2•a•$\frac{b}{2}$≤a²+$\frac{{b}^{2}}{4}$=1，验证等号成立可得．

解答 解：由重要不等式可得2xy≤x²+y²，
∵a，b∈R⁺，且a²+$\frac{{b}^{2}}{4}$=1，
∴ab=2•a•$\frac{b}{2}$≤a²+$\frac{{b}^{2}}{4}$=1，
当且仅当a=$\frac{b}{2}$即a=$\frac{\sqrt{2}}{2}$且b=$\sqrt{2}$时取等号，
∴代数式ab的最大值为1．

点评 本题考查基本不等式求最值，凑出可用基本不等式的形式是解决问题的关键，属中档题．