Question

【题目】已知两个无穷数列和的前项和分别为、，，，对任意的，都有.

（1）求数列的通项公式；

（2）若为等差数列，对任意的，都有，证明：；

（3）若为等比数列，，，求满足（）的的值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）1或2.

【解析】

（1）运用数列的递推式和等差数列的定义和通项公式，即可得到所求；

（2）设数列{bn}的公差为d，求出Sn，Tn．由恒成立思想可得b1＜1，求出an﹣bn，判断符号即可得证；

（3）运用等差数列和等比数列的求和公式，求得Sn，Tn，化简，推出小于3，结合等差数列的通项公式和数列的单调性，即可得到所求值．

（1）由3Sn+1＝2Sn+Sn+2+an，得2（Sn+1﹣Sn）＝Sn+2﹣Sn+1+an，

即2an+1＝an+2+an，所以an+2﹣an+1＝an+1﹣an．

由a1＝1，S2＝4，可知a2＝3．

所以数列{an}是以1为首项，2为公差的等差数列．

故{an}的通项公式为an＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1，n∈N*．

（2）设数列{bn}的公差为d，

则Tn＝nb1n（n﹣1）d，

由（1）知，Snn（1+2n﹣1）＝n2．

因为Sn＞Tn，所以n2＞nb1n（n﹣1）d，

即（2﹣d）n+d﹣2b1＞0恒成立，

所以，即，

又由S1＞T1，得b1＜1，

所以an﹣bn＝2n﹣1﹣b1﹣（n﹣1）d＝（2﹣d）n+d﹣1﹣b1≥2﹣d+d﹣1﹣b1＝1﹣b1＞0．

所以an＞bn，得证．

（3）由（1）知，Sn＝n2．因为{bn}为等比数列，

且b1＝1，b2＝3，

所以{bn}是以1为首项，3为公比的等比数列．

所以bn＝3n﹣1，Tn（3n﹣1）．

则3，

因为n∈N*，所以6n2﹣2n+2＞0，所以3．

而ak＝2k﹣1，所以1，即3n﹣1﹣n2+n﹣1＝0（*）．

当n＝1，2时，（*）式成立；

当n≥2时，设f（n）＝3n﹣1﹣n2+n﹣1，

则f（n+1）﹣f（n）＝3n﹣（n+1）2+n﹣（3n﹣1﹣n2+n﹣1）＝2（3n﹣1﹣n）＞0，

所以0＝f（2）＜f（3）＜…＜f（n）＜…，

故满足条件的n的值为1和2．