【题目】设分别是椭圆
的左、右焦点.
(1)若是该椭圆上的一个动点,求
的最大值和最小值;
(2)设过定点的直线
与椭圆交于不同的两点
,且
为锐角(其中
为坐标原点),求直线
的斜率的取值范围.
【答案】(1)
;(2)
.
【解析】
(1)设出点P的坐标,向量坐标化得到的表达式,进而得到最值;(2)
为锐角即
,设出点AB的坐标,向量坐标化得到点积的表达式为:x1x2+y1y2,联立直线和椭圆方程,由韦达定理得到结果.
(1)由已知得,F1(-,0),F2(
,0),设点P(x,y),
则+y2=1,且-2≤x≤2.
所以·
=(-
-x,-y)·(
-x,-y)=x2-3+y2=x2-3+1-
=
x2-2,
当x=0,即P(0,±1)时,(·
)min=-2;
当x=±2,即P(±2,0)时,(·
)max=1.
(2)由题意可知,过点M(0,2)的直线l的斜率存在.
设l的方程为y=kx+2,
由消去y,化简整理得
(1+4k2)x2+16kx+12=0,Δ=(16k)2-48(1+4k2)>0,解得k2>.
设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-,x1x2=
,
又∠AOB为锐角,所以·
>0,即x1x2+y1y2>0,
有x1x2+(kx1+2)(kx2+2)=(1+k2)x1x2+2k(x1+x2)+4
=(1+k2)·+2k·
+4>0,解得k2<4,
所以<k2<4,即k∈
.
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【题目】在平面直角坐标系中,抛物线C关于
轴对称,顶点为坐标原点,且经过点
.
(1)求抛物线C的标准方程;
(2) 过点的直线交抛物线于M、N两点.是否存在定直线
,使得l上任意点P与点M,Q,N所成直线的斜率
,
,
成等差数列.若存在,求出直线l的方程;若不存在,说明理由.
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【题目】定义函数,
(0,
)为
型函数,共中
.
(1)若是
型函数,求函数
的值域;
(2)若是
型函数,求函数
极值点个数;
(3)若是
型函数,在
上有三点A、B、C横坐标分別为
、
、
,其中
<
<
,试判断直线AB的斜率与直线BC的斜率的大小并说明理由.
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【题目】如图,在四棱锥中,底面
是正方形,且
,平面
平面
,
,点
为线段
的中点,点
是线段
上的一个动点.
(Ⅰ)求证:平面
平面
;
(Ⅱ)设二面角的平面角为
,试判断在线段
上是否存在这样的点
,使得
,若存在,求出
的值;若不存在,请说明理由.
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【题目】如图是某手机商城2018年华为、苹果、三星三种品牌的手机各季度销量的百分比堆积图(如:第三季度华为销量约占,三星销量约占
,苹果销量约占
),根据该图,以下结论中一定正确的是( )
A. 四个季度中,每季度三星和苹果总销量之和均不低于华为的销量
B. 苹果第二季度的销量小于第三季度的销量
C. 第一季度销量最大的为三星,销量最小的为苹果
D. 华为的全年销量最大
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【题目】某学校为了解学生的体质健康状况,对高一、高二两个年级的学生进行了体质测试.现从两个年级学生中各随机选取20人,将他们的测试数据,用茎叶图表示如图:《国家学生体质健康标准》的等级标准如表.规定:测试数据≥60,体质健康为合格.
等级 | 优秀 | 良好 | 及格 | 不及格 |
测试数据 |
(Ⅰ)从该校高二年级学生中随机选取一名学生,试估计这名学生体质健康合格的概率;
(Ⅱ)从两个年级等级为优秀的样本中各随机选取一名学生,求选取的两名学生的测试数据平均数大于95的概率;
(Ⅲ)设该校高一学生测试数据的平均数和方差分别为,高二学生测试数据的平均数和方差分别为
,试估计
、
的大小.(只需写出结论)
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【题目】已知函数.
(Ⅰ)若曲线在点
处的切线与x轴平行,求a的值;
(Ⅱ)若在
处取得极大值,求a的取值范围;
(Ⅲ)当a=2时,若函数有3个零点,求m的取值范围.(只需写出结论)
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【题目】如图,已知点F为抛物线的焦点,过点F的动直线l与抛物线C交于M,N两点,且当直线l的倾斜角为
时,
.
(1)求抛物线C的方程.
(2)点,证明:直线PM,PN关于x轴对称.
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