【题目】如图,在四棱锥中,底面
是正方形,且
,平面
平面
,
,点
为线段
的中点,点
是线段
上的一个动点.
(Ⅰ)求证:平面
平面
;
(Ⅱ)设二面角的平面角为
,试判断在线段
上是否存在这样的点
,使得
,若存在,求出
的值;若不存在,请说明理由.
【答案】(Ⅰ)见证明;(Ⅱ)
【解析】
(Ⅰ)根据面面垂直的判定定理即可证明结论成立;
(Ⅱ)先证明,
,
两两垂直,再以
为原点,以
,
,
所在直线分别为
轴,建立空间直角坐标系,设
,用
表示出平面
的法向量,进而表示出
,由
,即可得出结果.
解:(Ⅰ) 四边形
是正方形,∴
.
∵平面
平面
平面
平面
,∴
平面
.
∵平面
,∴
.
∵,点
为线段
的中点,∴
.
又∵,∴
平面
.
又∵平面
,∴平面
平面
.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知平面
,∵
,∴
平面
.
在平面内过
作
交
于点
,
∴,故
,
,
两两垂直,以
为原点,
以,
,
所在直线分别为
轴,建立如图所示空间直角坐标系
.
因为,
,∴
.
∵平面
, 则
,
,
又为
的中点,
,
假设在线段上存在这样的点
,使得
,设
,
,
,
设平面的法向量为
, 则
∴,令
,则
,则
平面
,
平面
的一个法向量
,
,则
∴.
,解得
,∴
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【题目】十八届五中全会首次提出了绿色发展理念,将绿色发展作为“十三五”乃至更长时期经济社会发展的一个重要理念.某地区践行“绿水青山就是金山银山”的绿色发展理念,2015年初至2019年初,该地区绿化面积y(单位:平方公里)的数据如下表:
年份 | 2015 | 2016 | 2017 | 2018 | 2019 |
年份代号x | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
绿化面积y | 2.8 | 3.5 | 4.3 | 4.7 | 5.2 |
(1)请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程;
(2)利用(1)中的回归方程,预测该地区2025年初的绿化面积.
(参考公式:线性回归方程:,
,
为数据平均数)
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【题目】如图1为某省2018年1~4月快递业务量统计图,图2是该省2018年1~4月快递业务收入统计图,下列对统计图理解错误的是( )
A. 2018年1~4月的业务量,3月最高,2月最低,差值接近2000万件
B. 2018年1~4月的业务量同比增长率均超过50%,在3月底最高
C. 从两图来看,2018年1~4月中的同一个月的快递业务量与收入的同比增长率并不完全一致
D. 从1~4月来看,该省在2018年快递业务收入同比增长率逐月增长
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【题目】某购物网站对在7座城市的线下体验店的广告费指出万元和销售额
万元的数据统计如下表:
城市 | A | B | C | D | E | F | G |
广告费支出 | 1 | 2 | 4 | 6 | 11 | 13 | 19 |
销售额 | 19 | 32 | 40 | 44 | 52 | 53 | 54 |
(1)若用线性回归模型拟合y与x关系,求y关于x的线性回归方程.
(2)若用对数函数回归模型拟合y与x的关系,可得回归方程,经计算对数函数回归模型的相关指数约为0.95,请说明选择哪个回归模型更合适,并用此模型预测A城市的广告费用支出8万元时的销售额.
参考数据:,
,
,
,
,
.
参考公式:,
相关指数:(注意:
与
公式中的相似之处)
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【题目】2016年1月6日北京时间上午11时30分,朝鲜中央电视台宣布“成功进行了氢弹试验”,再次震动世界,此事件也引起了我国公民热议,其中丹东市(丹东市和朝鲜隔江)某QQ聊天群有300名网友,乌鲁木齐市某微信群有200名网友,为了解不同地区我国公民对“氢弹试验”事件的关注程度,现采用分层抽样的方法,从中抽取了100名网友,先分别统计了他们在某时段发表的信息条数,再将两地网友发表的信息条数分成5组:,
,
,
,
,分别加以统计,得到如图所示的频率分布直方图.
(1)求丹东市网友的平均留言条数(保留整数);
(2)为了进一步开展调查,从样本中留言条数超过80条的网友中随机抽取2人,求至少抽到一名乌鲁木齐市网友的概率;
(3)规定“留言条数”不少于70条为“强烈关注”.
①请你根据已知条件完成下列2×2的列联表:
强烈关注 | 非强烈关注 | 合计 | |
丹东市 | |||
乌鲁木齐市 | |||
合计 |
②判断是否有90%的把握认为“强烈关注”与网友所在的地区有关?
附:临界值表及参考公式:
,
.
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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【题目】设分别是椭圆
的左、右焦点.
(1)若是该椭圆上的一个动点,求
的最大值和最小值;
(2)设过定点的直线
与椭圆交于不同的两点
,且
为锐角(其中
为坐标原点),求直线
的斜率的取值范围.
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【题目】已知三棱锥(如图1)的平面展开图(如图2)中,四边形
为边长为
的正方形,△ABE和△BCF均为正三角形,在三棱锥
中:
(I)证明:平面
平面
;
(Ⅱ)求二面角的余弦值;
(Ⅲ)若点在棱
上,满足
,
,点
在棱
上,且
,求
的取值范围.
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【题目】已知直线l:kx-y+1+2k=0(k∈R).
(1)证明:直线l过定点;
(2)若直线不经过第四象限,求k的取值范围;
(3)若直线l交x轴负半轴于A,交y轴正半轴于B,△AOB的面积为S(O为坐标原点),求S的最小值并求此时直线l的方程.
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