【题目】已知函数.
(Ⅰ)若曲线在点
处的切线与x轴平行,求a的值;
(Ⅱ)若在
处取得极大值,求a的取值范围;
(Ⅲ)当a=2时,若函数有3个零点,求m的取值范围.(只需写出结论)
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)
;(Ⅲ)
【解析】
(Ⅰ)对函数求导,由点处的切线与
轴平行可得
,即可求出实数
;
(Ⅱ)对函数求导可得,令导数等于零,解得
,
,分类讨论
与
的大小,即可求出实数
的范围,使得
在
处取得极大值;
(Ⅲ)对求导,分别讨论
大于零和小于零时函数的单调性,结合单调性,讨论函数极值的正负,即可求出使函数
有3个零点时,
的取值范围。
(Ⅰ)函数的定义域为
.
.
因为曲线在点
处的切线与x轴平行,
所以,解得
.此时
,所以
的值为
.
(Ⅱ)因为,
①若,
则当时,
,所以
;
当时,
,所以
.
所以在
处取得极大值.
②若,则当
时,
,
所以.所以
不是
的极大值点.
综上可知,的取值范围为
.
(Ⅲ)当时,
,
,
当时,函数
,不可能3个零点;
①当时,令
,解得:
,
令,得
,则
在区间
上单调递增;
令,解得:
或
,则
在区间
和
上单调递减;
由于当时,
恒成立,
,
,则当
时,
恒成立,所以函数
最多只有两个零点,即
不满足题意;
②当时,令
,解得:
,
令,得:
或
,则
在区间
和
上单调递增;
令,解得:
,则
在区间
上单调递减;
要使函数
有3个零点,则
,解得:
综上所述的取值范围为
.
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【题目】设P是抛物线y2=4x上的一个动点,F为抛物线的焦点,记点P到点A(-1,1)的距离与点P到直线x= - 1的距离之和的最小值为M,若B(3,2),记|PB|+|PF|的最小值为N,则M+N= ______________
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【题目】某购物网站对在7座城市的线下体验店的广告费指出万元和销售额
万元的数据统计如下表:
城市 | A | B | C | D | E | F | G |
广告费支出 | 1 | 2 | 4 | 6 | 11 | 13 | 19 |
销售额 | 19 | 32 | 40 | 44 | 52 | 53 | 54 |
(1)若用线性回归模型拟合y与x关系,求y关于x的线性回归方程.
(2)若用对数函数回归模型拟合y与x的关系,可得回归方程,经计算对数函数回归模型的相关指数约为0.95,请说明选择哪个回归模型更合适,并用此模型预测A城市的广告费用支出8万元时的销售额.
参考数据:,
,
,
,
,
.
参考公式:,
相关指数:(注意:
与
公式中的相似之处)
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【题目】设分别是椭圆
的左、右焦点.
(1)若是该椭圆上的一个动点,求
的最大值和最小值;
(2)设过定点的直线
与椭圆交于不同的两点
,且
为锐角(其中
为坐标原点),求直线
的斜率的取值范围.
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【题目】已知F为抛物线的焦点,F关于原点的对称点为
,点M在抛物线C上,给出下列三个结论:
①使得为等腰三角形的点M有且仅有6个
②使得的点M有且仅有2个
③使得的点M有且仅有4个
其中正确结论的个数为( )
A.0B.1C.2D.3
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【题目】已知三棱锥(如图1)的平面展开图(如图2)中,四边形
为边长为
的正方形,△ABE和△BCF均为正三角形,在三棱锥
中:
(I)证明:平面
平面
;
(Ⅱ)求二面角的余弦值;
(Ⅲ)若点在棱
上,满足
,
,点
在棱
上,且
,求
的取值范围.
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【题目】如图,在直角梯形中,
,
,
,
,
,点
在
上,且
,将
沿
折起,使得平面
平面
(如图),
为
中点.
(Ⅰ)求证:平面
;
(Ⅱ)求四棱锥的体积;
(Ⅲ)在线段上是否存在点
,使得
平面
?若存在,求
的值;若不存在,请说明理由.
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【题目】下列命题:
①若将一组样本数据中的每个数据都加上同一个常数后,则样本的方差不变;
②在残差图中,残差点分布的带状区域的宽度越狭窄,其模型拟合的精度越高;
③若两个变量间的线性相关关系越强,则相关系数的值越接近于1;
④对分类变量与
的随机变量
的观测值
来说,
越小,判断“
与
有关系”的把握越大.
其中正确的命题序号是( )
A.①②③B.①②C.①③④D.②③④
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【题目】已知椭圆的左右焦点分别为
,
是椭圆短轴的一个顶点,且
是面积为
的等腰直角三角形.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)已知直线:
与椭圆
交于不同的
,
两点,若椭圆
上存在点
,使得四边形
恰好为平行四边形,求直线
与坐标轴围成的三角形面积的最小值.
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