Question

【题目】已知椭圆的左右焦点分别为，是椭圆短轴的一个顶点，且是面积为的等腰直角三角形.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）已知直线：与椭圆交于不同的，两点，若椭圆上存在点，使得四边形恰好为平行四边形，求直线与坐标轴围成的三角形面积的最小值.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）根据等腰直角三角形可得，然后写出椭圆的标准方程；

（2）由题意可设，，联立，根据韦达定理和四边形恰好为平行四边形可得点的坐标，将其代入椭圆方程可得，再利用面积公式和基本不等式可得最小值.

（1）由已知得，设.

是面积为1的等腰直角三角形，

∴椭圆E的方程为

（2）由题意可设，.

联立整理得，则.

根据韦达定理得

因为四边形恰好为平行四边形，所以.

所以，

因为点P在椭圆C上，所以，

整理得，即

在直线l：中，由于直线与坐标轴围成三角形，则，.

令，得，令，得.

所以三角形面积为

当且仅当，时，取等号，此时.

所以直线l与坐标轴围成的三角形面积的最小值为.