Question

已知双曲线x²－y²＝2的左、右焦点分别为F₁，F₂，过点F₂的动直线与双曲线相交于A，B两点．

(I)若动点M满足(其中O为坐标原点)，求点M的轨迹方程；

(II)在x轴上是否存在定点C，使·为常数？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：由条件知，，设，． 　　解法一：(I)设，则则，，，由得 　　即 　　于是的中点坐标为． 　　当不与轴垂直时，，即． 　　又因为两点在双曲线上，所以，，两式相减得 　　，即． 　　将代入上式，化简得． 　　当与轴垂直时，，求得，也满足上述方程． 　　所以点的轨迹方程是． 　　(II)假设在轴上存在定点，使为常数． 　　当不与轴垂直时，设直线的方程是． 　　代入有． 　　则是上述方程的两个实根，所以，， 　　于是 　　 　　 　　． 　　因为是与无关的常数，所以，即，此时＝． 　　当与轴垂直时，点的坐标可分别设为，， 　　此时． 　　故在轴上存在定点，使为常数． 　　解法二：(I)同解法一的(I)有 　　当不与轴垂直时，设直线的方程是． 　　代入有． 　　则是上述方程的两个实根，所以． 　　． 　　由①②③得．…………………………………………………④ 　　．……………………………………………………………………⑤ 　　当时，，由④⑤得，，将其代入⑤有 　　．整理得． 　　当时，点的坐标为，满足上述方程． 　　当与轴垂直时，，求得，也满足上述方程． 　　故点的轨迹方程是． 　　(II)假设在轴上存在定点点，使为常数， 　　当不与轴垂直时，由(I)有，． 　　以上同解法一的(II)．