Question

【题目】已知数列{an}的首项a1=a（a＞0），其前n项和为Sn ， 设bn=an+an+1（n∈N*）．
（1）若a2=a+1，a3=2a2 ， 且数列{bn}是公差为3的等差数列，求S2n；
（2）设数列{bn}的前n项和为Tn ， 满足Tn=n2 ．
①求数列{an}的通项公式；
②若对n∈N*，且n≥2，不等式（an﹣1）（an+1-1）≥2（1﹣n）恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：由已知可得：bn+1﹣bn=an+2﹣an=3，

∴数列{an}的奇数项与偶数项分别成等差数列，且公差为3．

∴a3﹣a1=2a2﹣a=2（a+1）﹣a=a+2=3，解得a=1．

∴a1=1，a2=2．

∴S2n= + =3n2

（2）解：①由Tn=n2，n≥2时，bn=Tn﹣Tn﹣1=n2﹣（n﹣1）2=2n﹣1．

n=1时，b1=T1=1．

∴bn=an+an+1=2n﹣1．

化为：an+1﹣n=﹣[an﹣（n﹣1）]，

∴数列{an﹣（n﹣1）}为等比数列，公比为﹣1．首项为a．

∴an﹣（n﹣1）=a×（﹣1）n﹣1，即an=n﹣1+a×（﹣1）n﹣1，

②不等式（an﹣1）（an+1-1）≥2（1﹣n）化为：anan+1﹣（an+an+1）+1≥2（1﹣n），由an+an+1=2n﹣1．

∴不等式化为：anan+1≥0．当n为奇数时，an=a+（n﹣1），an+1=﹣a+n，

∴anan+1=[a+（n﹣1）]（﹣a+n）=﹣a2+a+n（n﹣1）≥0，即﹣a2+a≥﹣n（n﹣1）对n∈N*，且n≥2恒成立．

∴﹣a2+a≥﹣6，解得﹣2≤a≤3．

当n为偶数时，an=﹣a+（n﹣1），an+1=a+n，

∴anan+1≥0，即﹣a2+a≥﹣n（n﹣1）对n∈N*，且n≥2恒成立．

∴﹣a2+a≥﹣2，解得﹣2≤a≤1．

又a＞0，可得a的取值范围为：0＜a≤1

【解析】（1）由等差数列定义可得bn+1bn=d；（2）已知数列的前n项和Tn，则根据bn=可求出数列的通项，然后构造数列cn=an-（n-1）即可求解；将不等式（an-1）（an+1-1）2（1-n）化化为anan+1-（an+an+1)2(1-n），然后按n的奇、偶分类导论即可求解。