Question

【题目】已知椭圆C： =1（a＞b＞0）过点（ ，1），且以椭圆短轴的两个端点和一个焦点为顶点的三角形是等腰直角三角形．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设M（x，y）是椭圆C上的动点，P（p，0）是x轴上的定点，求|MP|的最小值及取最小值时点M的坐标．

Answer 1

【答案】
（1）解：由题意，以椭圆短轴的两个端点和一个焦点为顶点的三角形是等腰直角三角形，

所以 b=c，a2=2b2，则椭圆C的方程为 ．

又因为椭圆C：过点A（ ，1），

所以 ，

故a=2，b=.

所以椭圆的标准方程为 ．

（2）解： |MP|2=（x﹣p）2+y2．

因为 M（x，y）是椭圆C上的动点，

所以 ，

故 ．

所以 ．

因为M（x，y）是椭圆C上的动点，

所以|x|≤2．

①若|2p|≤2，即|p|≤1，

则当x=2p 时，|MP|取最小值 ，

此时M ．

②若p＞1，则当x=2 时，|MP|取最小值|p﹣2|，此时M（2，0）．

③若p＜﹣1，则当x=﹣2 时，|MP|取最小值|p+2|，此时M（﹣2，0）

【解析】（1）由已知中以椭圆短轴的两个端点和一个焦点为顶点的三角形是等腰直角三角形．且椭圆C过点（ ，1），可得：椭圆的标准方程；（2）根据M（x，y）是椭圆C上的动点，P（p，0）是x轴上的定点，求出|MP|的表达式，分类讨论，可得|MP|的最小值及取最小值时点M的坐标．
【考点精析】认真审题，首先需要了解椭圆的标准方程(椭圆标准方程焦点在x轴：，焦点在y轴：)．