Question

【题目】在数列{an}中，an=cos （n∈N*）
（1）试将an+1表示为an的函数关系式；
（2）若数列{bn}满足bn=1﹣ （n∈N*），猜想an与bn的大小关系，并证明你的结论．

Answer 1

【答案】
（1）解： = ═ ∴

∴

又n∈N*，n+1≥2，an+1＞0∴

（2）解：当n=1时， ，b1=1﹣2=﹣1，∴a1＞b1

当n=2时， ， ，∴a2=b2

当n=3时， ， ，∴a3＜b3

猜想：当n≥3时，an＜bn，

下面用数学归纳法证明：

证：①当n=3时，由上知，a3＜b3，结论成立．

②假设n=k，k≥3，n∈N*时，ak＜bk成立，即

则当n=k+1， = ，

要证ak+1＜bk+1，即证明

即证明

即证明

即证明 ，显然成立．

∴n=k+1时，结论也成立．

综合①②可知：当n≥3时，an＜bn成立．

综上可得：当n=1时，a1＞b1；当n=2时，a2=b2

当n≥3，n∈N*时，an＜bn

【解析】（1）利用数列的通项公式化简求解递推关系式即可．（2）通过当n=1时，当n=2时，当n=3时，计算结果猜想：当n≥3时，an＜bn ， 然后利用数学归纳法的坐标方法证明即可．
【考点精析】关于本题考查的归纳推理和数学归纳法的定义，需要了解根据一类事物的部分对象具有某种性质,退出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理,叫做归纳推理；数学归纳法是证明关于正整数n的命题的一种方法才能得出正确答案．