Question

【题目】已知抛物线C：y2=2px（p＞0），上的点M（1，m）到其焦点F的距离为2，
（Ⅰ）求C的方程；并求其准线方程；
（II）已知A （1，﹣2），是否存在平行于OA（O为坐标原点）的直线L，使得直线L与抛物线C有公共点，且直线OA与L的距离等于 ？若存在，求直线L的方程；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）抛物线y2=2px（p＞0）的准线方程为x=﹣ ，

由抛物线的定义可知：|MF|=1﹣（﹣ ）=2，解得p=2，

因此，抛物线C的方程为y2=4x；其准线方程为x=﹣1．

（Ⅱ）假设存在符合题意的直线l，其方程为y=﹣2x+t，（OA的方程为：y=﹣2x）

由 ，得y2+2 y﹣2 t=0．

因为直线l与抛物线C有公共点，所以得△=4+8 t，解得t≥﹣1/2．

另一方面，由直线OA与l的距离d= ，可得 ，解得t=±1．

因为﹣1[﹣ ，+∞），1∈[﹣ ，+∞），所以符合题意的直线l 存在，其方程为2x+y﹣1=0

【解析】（Ⅰ）根据抛物线的定义、方程与性质以及平行线间的距离公式可得结果。（Ⅱ）假设存在与题意相符的直线l，其方程可设为y=﹣2x+t联立抛物线的方程由韦达定理结合两条平行线间的位置关系即可求解。