Question

【题目】以下四个关于圆锥曲线的命题中：
①双曲线 与椭圆 有相同的焦点；
②以抛物线的焦点弦（过焦点的直线截抛物线所得的线段）为直径的圆与抛物线的准线是相切的；
③设A、B为两个定点，k为常数，若|PA|﹣|PB|=k，则动点P的轨迹为双曲线；
④过定圆C上一点A作圆的动弦AB，O为原点，若 则动点P的轨迹为椭圆．其中正确的个数是（ ）
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个

Answer 1

【答案】B
【解析】解：①双曲线 的焦点坐标为（±5，0），

椭圆 的焦点坐标为（±5，0），

所以双曲线 与椭圆 有相同的焦点，正确；

②不妨设抛物线为标准抛物线：y2=2px （p＞0 ），即抛物线位于Y轴的右侧，以X轴为对称轴．

设过焦点的弦为PQ，PQ的中点是M，M到准线的距离是d．

而P到准线的距离d1=|PF|，Q到准线的距离d2=|QF|．

又M到准线的距离d是梯形的中位线，故有d= ，

由抛物线的定义可得： = =半径．

所以圆心M到准线的距离等于半径，

所以圆与准线是相切，正确．

③平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数k（k＜|F1F2|）的点的轨迹叫做双曲线，

当0＜k＜|AB|时是双曲线的一支，当k=|AB|时，表示射线，所以不正确；

④设定圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，点A（m，n），P（x，y），

由 则可知P为AB的中点，则B（2x﹣m，2y﹣n），

因为AB为圆的动弦，所以B在已知圆上，

把B的坐标代入圆x2+y2+Dx+Ey+F=0得到P的轨迹仍为圆，

当B与A重合时AB不是弦，所以点A除外，所以不正确．

所以答案是：B．