Question

已知数列{a_n}的前n项的和S_n，点（n，S_n）在函数f（x）=2x²+4x图象上，
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若函数g（x）=2 ^-x，数列{b_n}满足b_n=g（n），记c_n=a_n•b_n，求数列{c_n}前n项和T_n；
（3）是否存在实数λ，使得当x≤λ时，f（x）=-x²+4x-

an

n+1

≤0对任意n∈N^*恒成立？若存在，求出最大的实数λ，若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：数列与函数的综合,数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）要求数列的通项公式，当n大于等于2时可根据数列的前n项的和减去数列的前n-1项的和求出，然后把n=1代入验证；
（2）由函数g（x）=2 ^-x，数列{b_n}满足b_n=g（n）=2 ^-n，利用错位相减法可得数列{c_n}前n项和T_n；
（3）假设存在实数λ，使得当x≤λ时，f（x）=-x²+4x-

an

n+1

≤0对任意n∈N^*恒成立，即-x²+4x≤

an

n+1

对任意n∈N^*恒成立，由

an

n+1

=4-

2

n+1

是递增数列，能推导出存在最大的实数λ=1，使得当x≤λ时，f（x）≤c_n对任意n∈N^*恒成立．

解答： 解：（1）由题意，S_n=2n²+4n，
当n=1时，a₁=S₁=6，
n≥2时，
a_n=S_n-S_n-1=（2n²+4n）-[2（n-1）²+4（n-1）]=4n+2，
当n=1时，a₁=S₁=4+2=6，也适合上式
∴数列{a_n}的通项公式为a_n=4n+2，n∈N^*；
（2）∵函数g（x）=2 ^-x，
∴数列{b_n}满足b_n=g（n）=2 ^-n，
又∵c_n=a_n•b_n，
∴T_n=6×2^-1+10×2^-2+14×2^-3+…+（4n+2）×2^-n，…①，
∴

1

2

T_n=6×2^-2+10×2^-3+…+（4n-2）×2^-n+（4n+2）×2^-（n+1），…②，
①-②得：

1

2

T_n=6×2^-1+4（2^-2+2^-3+…+2^-n）-（4n+2）×2^-（n+1）=5-（2n+5）(

1

2

)n，
∴T_n=10-（2n+5）(

1

2

)n-1，
（3）假设存在实数λ，使得当x≤λ时，f（x）=-x²+4x-

an

n+1

≤0对任意n∈N^*恒成立，
即-x²+4x≤

an

n+1

对任意n∈N^*恒成立，
∵a_n=4n+2，
∴c_n=

an

n+1

=

4n+2

n+1

=4-

2

n+1

是递增数列，
所以只要-x²+4x≤c₁，即x²-4x+3≥0，
解得x≤1或x≥3．
所以存在最大的实数λ=1，使得当x≤λ时，f（x）≤c_n对任意n∈N^*恒成立．

点评：本题考查数列的通项公式和前n项和公式的求法，考查数列不等式的应用，解题时要认真审题，注意错位相消法和等价转化思想的合理运用．