Question

（2012•梅州一模）如图，AB是半圆O直径，∠BAC=30°，BC为半圆的切线，且BC=4

3

，则点O到AC的距离OD=

3

．

Answer 1

分析：首先过O作AC的垂线段OD，再利用两个角对应相等得到三角形相似，利用三角形相似的性质得到比例式，根据直角三角形中特殊角的三角函数，求出O到AC的距离

解答：解：过O做AC的垂线，垂足是D，
∵BC是⊙O的切线，
∴∠ABC=90°，
∵OD⊥AC，
在△ABC与△ADO中，
∴∠ADO=90°，∠A=∠A，
∴△ABC∽△ADO，
∴

OD

BC

=

AO

AC

；
在△ABC中，
∠BAC=30°，
∴AC=2BC=8

3

，
AB=

AC2-BC2

=12，
∴OA=6=BO，
∴OD=

AO×BC

AC

=

6×4 3

8 3

=3．
故答案为：3

点评：本题考查三角形相似的判断和性质，本题解题的关键是熟练应用三角形相似的性质和直角三角形的特殊角的三角函数，本题是一个中档题目．