Question

已知函数f(x)=

a×2x-1

1+2x

(a∈R)．
（I）若f（x）为奇函数，求a的值；
（III）当a=5时，函数f（x）的图象是否存在对称中心，若存在，求其对称中心；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（Ⅰ）函数f(x)=

a×2x-1

1+2x

(a∈R)，有1+2^x＞1恒成立，
则f（x）的定义域为R，
又由函数f（x）为奇函数，可得f（0）=0，
则f（0）=

a×20-1

1+20

=0，解可得a=1，
此时f（x）=

2x-1

1+2x

；
（Ⅱ）当a=5时，f（x）=

5×2x-1

1+2x

=5-

6

1+2x

，
假设f（x）的图象存在对称中心，且其对称中心的坐标为（h，k），
则对于任意的x∈R，有f（h+x）+f（h-x）=2k恒成立，
10-6（

1

1+2h+x

+

1

1+2h-x

）=2k恒成立，
整理可得（4-2k）×2^h+x+（4-2k）×2^h-x+[（10-2k）×2^2h-2-2k]=0恒成立，
于是有

4-2k=0 (10-2k)×22h-2-2k=0

，解可得h=0，k=2，
故当a=5时，函数f（x）的图象存在对称中心，且其对称中心为（0，2）．