Question

【题目】设分别是椭圆的左、右焦点，过且斜率不为零的直线与椭圆交于两点，的周长为

（1）求椭圆的方程

（2）是否存在直线，使得为等腰直角三角形？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由

Answer 1

【答案】（1）；（2）不存在，见解析.

【解析】

（1）根据焦点坐标得，的周长为，即，即可解得椭圆的方程；

（2）分别讨论将作为等腰直角三角形的斜边和直角边（即底边和腰）的情况，即可得出矛盾.

（1）由题椭圆的焦点坐标，所以，的周长为，即，，，

所以椭圆的方程为；

（2）不存在，理由如下：

当为底边时，，根据椭圆对称性，此时直线垂直于轴，其方程，

此时，

，

所以不垂直，即为底边时等腰顶角不为直角，所以不是等腰直角三角形；

当为腰时，必有，

假设为等腰直角三角形，不妨设为直角顶点，设，

则，在中，由勾股定理，，

即，解得：，此时，

与矛盾，所以不是等腰直角三角形，

综上所述，不存在直线，使得为等腰直角三角形