Question

已知数列{a_n}，a₁=1，且满足关系a_n-a_n-1=2（n≥2），
（1）写出a₂，a₃，a₄，的值，并猜想{a_n}的一个通项公式．
（2）利用数学归纳法证明你的结论．

Answer 1

解：（1）∵a₁=1，a_n-a_n-1=2（n≥2），
∴a₂=2+a₁=3，同理可求得a₃=5，a₄=7，故可猜想得到a_n=2n-1． …（4分）
（2）证明：①当n=1时，结论显然成立； …（6分）
②设当n=k（k≥2）时，结论成立，即a_k=2k-1，
则当n=k+1时，a_k+1-a_k=2，…（8分）
所以a_k+1=a_k+2=2k-1+2=2（k+1）-1，也满足公式． …（10分）
综①②知，命题a_n=2n-1对任意的正整数n恒成立． …（12分）
分析：（1）由a₁=1，a_n-a_n-1=2（n≥2），可求得a₂，a₃，a₄的值，从而可猜想{a_n}的一个通项公式．
（2）按照数学归纳法的证题步骤：先证明n=1时命题成立，再假设当n=k（k≥2）时结论成立，去证明当n=k+1时，结论也成立，从而得出命题a_n=2n-1对任意的正整数n恒成立．
点评：本题考查数学归纳法，关键是证明n=k+1时，命题成立必须用上归纳假设，属于中档题．