Question

【题目】对于数列A：a1 ， a2 ， …，an ， 若满足ai∈{0，1}（i=1，2，3，…，n），则称数列A为“0﹣1数列”．若存在一个正整数k（2≤k≤n﹣1），若数列{an}中存在连续的k项和该数列中另一个连续的k项恰好按次序对应相等，则称数列{an}是“k阶可重复数列”，例如数列A：0，1，1，0，1，1，0．因为a1 ， a2 ， a3 ， a4与a4 ， a5 ， a6 ， a7按次序对应相等，所以数列{an}是“4阶可重复数列”．
（Ⅰ）分别判断下列数列A：1，1，0，1，0，1，0，1，1，1．是否是“5阶可重复数列”？如果是，请写出重复的这5项；
（Ⅱ）若项数为m的数列A一定是“3阶可重复数列”，则m的最小值是多少？说明理由；
（III）假设数列A不是“5阶可重复数列”，若在其最后一项am后再添加一项0或1，均可使新数列是“5阶可重复数列”，且a4=1，求数列{an}的最后一项am的值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）是“5阶可重复数列”，10101．
（Ⅱ）因为数列{an}的每一项只可以是0或1，所以连续3项共有23=8种不同的情形．
若m=11，则数列{an}中有9组连续3项，则这其中至少有两组按次序对应相等，即项数为11的数列{an}一定是“3阶可重复数列”；若m=10，数列0，0，1，0，1，1，1，0，0，0不是“3阶可重复数列”；则3≤m＜10时，均存在不是“3阶可重复数列”的数列{an}．所以，要使数列{an}一定是“3阶可重复数列”，则m的最小值是11．
（III）由于数列{an}在其最后一项am后再添加一项0或1，均可使新数列是“5阶可重复数列”，即在数列{an}的末项am后再添加一项0或1，则存在i≠j，
使得ai ， ai+1 ， ai+2 ， ai+3 ， ai+4与am﹣3 ， am﹣2 ， am﹣1 ， am ， 0按次序对应相等，或aj ， aj+1 ， aj+2 ， aj+3 ， aj+4与am﹣3 ， am﹣2 ， am﹣1 ， am ， 1按次序对应相等，
如果a1 ， a2 ， a3 ， a4与am﹣3 ， am﹣2 ， am﹣1 ， am不能按次序对应相等，那么必有2≤i，j≤m﹣4，i≠j，使得ai ， ai+1 ， ai+2 ， ai+3、aj ， aj+1 ， aj+2 ， aj+3与am﹣3 ， am﹣2 ， am﹣1 ， am按次序对应相等．
此时考虑ai﹣1 ， aj﹣1和am﹣4 ， 其中必有两个相同，这就导致数列{an}中有两个连续的五项恰按次序对应相等，从而数列{an}是“5阶可重复数列”，这和题设中数列{an}不是“5阶可重复数列”矛盾！所以a1 ， a2 ， a3 ， a4与am﹣3 ， am﹣2 ， am﹣1 ， am按次序对应相等，从而am=a4=1．
【解析】（Ⅰ）是“5阶可重复数列”．（Ⅱ）因为数列{an}的每一项只可以是0或1，所以连续3项共有23=8种不同的情形．分类讨论：若m=11，则数列{an}中有9组连续3项，则这其中至少有两组按次序对应相等，即项数为11的数列{an}一定是“3阶可重复数列”；则3≤m＜10时，均存在不是“3阶可重复数列”的数列{an}．（III）由于数列{an}在其最后一项am后再添加一项0或1，均可使新数列是“5阶可重复数列”，即在数列{an}的末项am后再添加一项0或1，则存在i≠j，使得ai ， ai+1 ， ai+2 ， ai+3 ， ai+4与am﹣3 ， am﹣2 ， am﹣1 ， am ， 0按次序对应相等，或aj ， aj+1 ， aj+2 ， aj+3 ， aj+4与am﹣3 ， am﹣2 ， am﹣1 ， am ， 1按次序对应相等，经过分析可得：am=a4 ．