Question

13．已知函数f（x）=log_a（x+2）+log_a（3-x），其中0＜a＜1．
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）若函数f（x）的最小值为-4，求a的值．

Answer 1

分析 （1）根据题意，写出函数f（x）有意义的不等式组求解．
（2）将函数化简，转化为二次i函数，利于二次函数的性质求解．

解答 解：（1）要使函数f（x）有意义，则有$\left\{\begin{array}{l}x+2＞0\\ 3-x＞0\end{array}\right.$，
解得：-2＜x＜3，
所以：函数的定义域为（-2，3）．
（2）函数可化为f（x）=log_a（x+2）+log_a（3-x）
=log_a[（x+2）（3-x）]=${log_a}（-{x^2}+x+6）={log_a}[-{（x-\frac{1}{2}）^2}+\frac{25}{4}]$，
∵-2＜x＜3，
∴$0＜-{（x-\frac{1}{2}）^2}+\frac{25}{4}≤\frac{25}{4}$
又∵0＜a＜1，
∴$log{\;}_a[-{（x-\frac{1}{2}）^2}+\frac{25}{4}]≥{log_a}\frac{25}{4}$，
即$f{（x）_{min}}={log_a}\frac{25}{4}$，
由${log_a}\frac{25}{4}=-4$，即：${a^{-4}}=\frac{25}{4}$，
解得：$a=\frac{{\sqrt{10}}}{5}$．
故得函数f（x）的最小值为-4，a的值为$\frac{\sqrt{10}}{5}$．

点评 本题考查了对数函数的定义域求法和化简计算问题，复合函数的最值问题．属于中档题．