Question

如图，四棱锥P—ABCD的底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点.
（1）证明PA//平面BDE；              
（2）求二面角B—DE—C的平面角的余弦值；
（3）在棱PB上是否存在点F，使PB⊥平面DEF？证明你的结论.

Answer 1

（Ⅰ）证明见解析（Ⅱ）（Ⅲ）存在

（1）以D为坐标原点，分别以DA、DC、DP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设PD=DC=2，则A（2，0，0），P（0，0，2），E（0，1，1），…………2分
B（2，2，0）   
设是平面BDE的一个法向量，
则由                 ………………4分
∵   …………5分
（2）由（Ⅰ）知是平面BDE的一个法向量，又是平面DEC的一个法向量.                                      ………………7分
设二面角B—DE—C的平面角为，由图可知
∴
故二面角B—DE—C的余弦值为                                                   ………………10分
（3）∵
∴
假设棱PB上存在点F，使PB⊥平面DEF，设，
则，
由                             ………………13分
∴                                                    ………………14分
即在棱PB上存在点F，PB，使得PB⊥平面DEF           ………………15分
用几何法证明酌情给分