试题分析:(Ⅰ)依题意有,
,以及
,求得
以及
的值,写出符合条件的数列即可,答案不唯一;(Ⅱ)先假设存在,利用反证法证明得出矛盾,即可证明满足已知条件的“10项相关数列”不存在.依题意有
,以及
成立,解出
与已知矛盾,即证;(Ⅲ)对于确定的
,任取一对“
项相关数列”
,构造新数对
,
,则可证明新数对也是“
项相关数列”,但是数列
与
是不同的数列,可知“
项相关数列”都是成对对应出现的,即符合条件的 “
项相关数列”有偶数对.
试题解析:(Ⅰ)依题意,
,相加得,
,又
,
则
,
.
“4项相关数列”
:8,4,6,5;
:7,2,3,1(不唯一)3分
(Ⅱ)不存在.
理由如下:假设存在 “15项相关数列”
,
则
,相加,得
又由已知
,由此
,显然不可能,所以假设不成立。
从而不存在 “15项相关数列”
7分
(Ⅲ)对于确定的
,任取一对 “
项相关数列”
,
令
,
,
先证
也必为 “
项相关数列” .
因为
又因为
,很显然有:
所以
也必为 “
项相关数列”.
再证数列
与
是不同的数列.
假设
与
相同,则
的第二项
,又
,则
,即
,显然矛盾.
从而,符合条件的“
项相关数列”有偶数对. 13分
项和公式;2.反证法及其应用