Question

已知点P是椭圆

x2

16

+

y2

4

=1上一点，其左、右焦点分别为F₁、F₂，若△F₁PF₂的外接圆半径为4，则△F₁PF₂的面积是

 

．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：首先，得到该椭圆的焦点坐标，然后，求解外接圆的圆心，从而得到其方程，然后，联立方程组，求解点P的纵坐标，从而得到该三角形的高，即得其面积．

解答： 解：由题意，得a=4，b=2，得
∴c=

a2-b2

=2

3

，
∴F₁（-2

3

，0）F₂（2

3

，0），
圆心A在F₁F₂垂直平分线上，设圆心为M（0，m），
则有AF₂=4，可求得m=2，
∴外接圆方程为x²+（y-2）²=16，
与椭圆联立可求得P点的纵坐标y=

2

3

或-2，
即为三角形的高，
∴△F₁PF₂的面积S=

1

2

F₁F₂*|y（A）|=

4 3

3

或4

3

．
故答案为：

4 3

3

或4

3

．

点评：本题重点考查了椭圆的简单几何性质、三角形的面积公式等知识，属于中档题．