Question

已知正项数列{a_n}的前项n和为S_n，满足3S_n=1-a_n，且b_n+2=3log 

1

4

a_n（n∈N^*），数列{c_n}满足c_n=a_n•b_n．
（1）求证：数列{b_n}是等差数列；
（2）求数列{c_n}的前n项和T_n；
（3）若c_n≤

1

4

（3t²+5t-1）对一切n∈N^*恒成立，求t的取值范围．

Answer 1

考点：数列的求和,数列的函数特性,等差关系的确定

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）首先利用递推关系式求出

an

an-1

=

1

4

，然后根据已知条件利用定义法证明数列是等差数列．
（2）根据（1）的结论进一步利用乘公比错位相减法求数列的前n项和．
（3）进一步利用恒成立问题求参数的取值范围，其中要求出数列{c_n}的最大项．最后确定参数的取值范围．

解答： 解：（1）由题意知：Sn=

1

3

-

1

3

an(n∈N+)，
因为当n≥2时，an=Sn-Sn-1=

1

3

an-1-

1

3

an，
所以4a_n=a_n-1，所以

an

an-1

=

1

4

（n≥2），
当n=1时，S1=

1

3

-

1

3

a1=a₁，
所以a1=

1

4

，
所以{a_n}是以

1

4

为首项是以

1

4

为公比的等比数列，
所以an=(

1

4

)n(n∈N+)，
因为b_n+2=3log 

1

4

a_n（n∈N^*），所以b_n=3n-2，
所以b_n-1=3n-5，
b_n-b_n-1=3（n≥2），所以{b_n}是等差数列．
（2）由（1）知c_n=a_n•b_n=(3n-2)•(

1

4

)n
T_n=c₁+c₂+c₃+…+c_n
=1×

1

4

+4×(

1

4

)2+…+(3n-2)(

1

4

)n①
所以：

1

4

Tn=1×(

1

4

)2+4×(

1

4

)3 +…+(3n-2)(

1

4

)n+1②
①-②得

3

4

Tn=1×

1

4

+3×(

1

4

)2+…+3×(

1

4

)n-(3n-2)×(

1

4

)n+1
=

1

4

+3×

( 1 4 )2[1-( 1 4 )n-1]

1- 1 4

-(3n-2)×(

1

4

)n+1，
整理后得到：Tn=

2

3

-

3n+2

3

×(

1

4

)n．
（3）若c_n≤

1

4

（3t²+5t-1）对一切n∈N^*恒成立，
只需(cn)max≤

1

4

(3t2+5t-1)，
又cn+1-cn=

3n+1

4n+1

-

3n-2

4n

=

9-9n

4n+1

≤0，
c₁=c₂＞c₃＞c₄＞…
所以最大值为c1=c2=

1

4

．
所以：

1

4

≤

1

4

(3t2+5t-1)
即3t²+5t-2≥0
解得：t≤-2或t≥

1

3

．

点评：本题考查的知识要点：利用定义法证明数列是等差数列，递推关系式的应用，乘公比错位相减法的应用，利用恒成立问题求参数的取值范围．