Question

已知函数f（x）=x³+3x²-1，若函数y=f（x）在相异两动点A、B处的切线平行，求证：直线AB恒过一个定点．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的概念及应用

分析：设两点A（a，f（a））、B（b，f（b））（a≠b），由题意得b=-a-2，故得过A、B的直线参数方程为x=a+（b-a）t，y=a³+3a²-1+（b³+3b²-a³-3a²）t，化简整理即可得出结论．

解答： 证明：设两点A（a，f（a））、B（b，f（b））（a≠b），则
∵f（x）=x³+3x²-1，∴f′（x）=3x²+6x，
∵函数y=f（x）在相异两动点A、B处的切线平行，
∴3a²+6a=3b²+6b，
∴b=-a-2，
∴过A、B的直线参数方程为x=a+（b-a）t，y=a³+3a²-1+（b³+3b²-a³-3a²）t，
化简得x=a+（-2a-2）t=a（1-2t）-2t，y=3-4t+3（2t-1）a²+（2t-1）a³，
∴t=

1

2

时，1-2t=0．
∴x=-1，y=1，
∴直线AB恒过一个定点（-1，1）．

点评：本题主要考查导数的几何意义及直线恒过定点问题，考查学生对直线参数方程的运用能力，属于中档题．