Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₁+a₅=17．
（1）若{a_n}为等差数列，且S₈=56．
①求该等差数列的公差d；
②设数列{b_n}满足b_n=3ⁿ•a_n，则当n为何值时，b_n最大？请说明理由；
（2）若{a_n}还同时满足：①{a_n}为等比数列；②a₂a₄=16；③对任意的正整数k，存在自然数m，使得S_k+2、S_k、S_m依次成等差数列，试求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析：（1）①{a_n}为等差数列，且a₁+a₅=17，S₈=56，建立方程组，即可求得该等差数列的公差d；
②确定数列{b_n}的通项，判断其单调性，即可求得b_n最大值；
（2）先根据：①{a_n}为等比数列；②a₂a₄=16，确定{a_n}的通项，再利用S_k+2、S_k、S_m依次成等差数列，即可求数列{a_n}的通项公式．

解答：解：（1）①由题意，得

2a1+4d=17 8a1+28d=56

，解得d=-1…（4分）
②由①知a1=

21

2

，所以an=

23

2

-n，则b_n=3ⁿ•a_n=3ⁿ•（

23

2

-n），…（6分）
因为b_n+1-b_n=2×3ⁿ×（10-n）…（8分）
所以b₁₁=b₁₀，且当n≤10时，数列{b_n}单调递增，当n≥11时，数列{b_n}单调递减，
故当n=10或n=11时，b_n最大…（10分）
（2）因为{a_n}是等比数列，则a₂a₄=a₁a₅=16，又a₁+a₅=17，所以

a1=1 a5=16

或

a1=16 a5=1

…（12分）
从而an=2n-1或an=(-2)n-1或an=16×(

1

2

)n-1或an=16×(-

1

2

)n-1．
又因为S_k+2、S_k、S_m依次成等差数列，得2S_k=S_k+2+S_m，而公比q≠1，
所以2×

a1(1-qk)

1-q

=

a1(1-qk+2)

1-q

+

a1(1-qm)

1-q

，即2=q²+q^m-k  （*）…（14分）
当an=2n-1时，（*）式不成立；当an=(-2)n-1时，解得m=k+1；
当an=16×(

1

2

)n-1时，（*）式不成立；当an=16×(-

1

2

)n-1时，（*）式不成立．
综上所述，满足条件的是an=(-2)n-1…（16分）

点评：本题考查等差数列的通项，考查数列的单调性，考查学生的计算能力，确定数列的通项是关键．